aurelL Posted November 15, 2018 Report Share Posted November 15, 2018 (edited) TL ; DR ? - cititi textul si incercati sa rezolvati. ( daca vreti si aveti timp ) Salut. Ieri dimineaţă am dat de o problemă de matematică ce îmi dă bătăi de cap. Sună cam aşa : " Avem un patrulater convex, despre care ştim că are lungimile laturilor 1, 2 ,3 ,4, nu contează în ce ordine. Unghiurile dintre laturi sunt arbitrare, le putem alege cum vrem noi. Care este aria maximă pe care o poate avea un asemenea patrulater? " Ce am reuşit eu să fac : 1. Din formula lui Bretschneider avem : Alfa şi Beta sunt 2 unghiuri opuse ale patrulaterului. K reprezintă aria s semiperimetrul, iar a, b, c si d sunt cele 4 laturi. 2. Am notat (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) cu x şi l.am rezolvat deoparte : (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 4! = 24 3. Cum aria trebuie să aibă valoare pozitivă = > 24 > abcd * cos2 [ ( alfa + beta )/2 ] 4. Am observat ca nu poate fi paralelogram. In cazul in care as fi luat m ( < alfa ) = m ( < beta ) mi-ar fi iesit paralelogram. ( contradictie cu ipoteza, laturile au lungimi diferite ). Am luat m ( < y ) = m ( < teta + 1 ). Pentru beta si alfa maxime avem : y = 1, teta = 2. => alfa + beta = 360-1-2 = 357 grade. 5. Relatia devine : A = https://prnt.sc/lisu8m 6. Cum cos2(357/2) * 24 > 24 = > imposibil. Idei?? Nu veniţi cu hieroglife pentru că nu o să înţeleg. 😢 Edited November 15, 2018 by aurelL 2 Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
catch. Posted November 15, 2018 Report Share Posted November 15, 2018 (edited) doare ualma, daca e prost Edited November 15, 2018 by catch. Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
aurelL Posted November 15, 2018 Author Report Share Posted November 15, 2018 Despre ce vorbeşti ? @catch. Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
aurelL Posted November 16, 2018 Author Report Share Posted November 16, 2018 Cu puţin ajutor, i-am dat de cap :=) : Ştim ca funcţia cosinus e cuprinsă între -1 şi 1 . De aici, şi din formula de mai sus : Radical din 24 - 24 * cos2(alfa+beta/2), cel mai convenabil ar fi ca 24 * cos2(alfa+beta/2) sa fie 0. Din tabel, cos 90 = 0 şi cos2 90 = 0. Înseamnă că (alfa + beta) = 180/2 = 90. Din moment ce formula (relaţia) lui Bretschneider e validă doar dacă alfa şi beta sunt 2 unghiuri opuse în patrulater, înseamnă că patrulaterul e inscriptibil. ( adică putem construi un cerc tangent cu toate varfurile sale < ex : Avem un patrulater ABCD si un cerc C(O,r). Daca A, B, C si D sunt incluse in C(O,r) atunci patrulaterul ABCD este inscriptibil. > ).( Alfa şi beta sunt 2 unghiuri opuse cu măsura unghiurilor 180o, deci patrulaterul e inscriptibil ). Dacă e inscriptibil, putem folosi formula lui Brahmagupta care zice : Aria unui patrulater inscriptibil este egală cu radical din (p-a)(p-b)(p-c)(p-d); unde p = (a + b + c + d)/2 si a, b, c, d laturile patrulaterului. Si avem p = (1 + 2 + 3 + 4)/2 = 10/2 = 5. Radical din (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) e chiar a*b*c*d. Cum a, b, c, d consecutive, aria e egală cu radical din 4! = radical din 24. * Formula lui Brahmagupta e doar o generalizare a lui Heron. Iar formula lui Bretschneider e generalizare a lui Brahmagupta. https://ro.wikipedia.org/wiki/Tabelul_valorilor_funcțiilor_sinus_și_cosinus https://www.geogebra.org/m/pcycqNEb https://ro.wikipedia.org/wiki/Formula_lui_Bretschneider https://ro.wikipedia.org/wiki/Formula_lui_Heron 1 Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...