Problem Of The Day

[aurelL]

TL ; DR ? - cititi textul si incercati sa rezolvati. ( daca vreti si aveti timp )

Salut. Ieri dimineaţă am dat de o problemă de matematică ce îmi dă bătăi de cap. Sună cam aşa :

" Avem un patrulater convex, despre care ştim că are lungimile laturilor 1, 2 ,3 ,4, nu contează în ce ordine. Unghiurile dintre laturi sunt arbitrare, le putem alege cum vrem noi. Care este aria maximă pe care o poate avea un asemenea patrulater? "

Ce am reuşit eu să fac :

1. Din formula lui Bretschneider avem :   Alfa şi Beta sunt 2 unghiuri opuse ale patrulaterului. K reprezintă aria s semiperimetrul, iar a, b, c si d  sunt cele 4 laturi.

 

2. Am notat (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) cu x şi l.am rezolvat deoparte : (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 4! = 24

 

3. Cum aria trebuie să aibă valoare pozitivă = > 24 > abcd * cos2 [ ( alfa + beta )/2 ]

 

4. Am observat ca nu poate fi paralelogram. In cazul in care as fi luat m ( < alfa ) = m ( < beta ) mi-ar fi iesit paralelogram. ( contradictie cu ipoteza, laturile au lungimi diferite ). Am luat m ( < y ) = m ( < teta + 1 ). Pentru beta si alfa maxime avem : y = 1, teta = 2. => alfa + beta = 360-1-2 = 357 grade.

 

5. Relatia devine  : A = https://prnt.sc/lisu8m

 

6. Cum cos²(357/2) * 24 > 24 = > imposibil.

 

Idei?? Nu veniţi cu hieroglife pentru că nu o să înţeleg. 😢

Edited November 15, 2018 by aurelL

[catch.]

doare ualma, daca e prost

Edited November 15, 2018 by catch.

[aurelL]

Despre ce vorbeşti ? @catch.

[aurelL]

Cu puţin ajutor, i-am dat de cap :=) :

Ştim ca funcţia cosinus e cuprinsă între -1 şi 1 .  De aici, şi din formula de mai sus : Radical din 24 - 24 * cos²(alfa+beta/2), cel mai convenabil ar fi ca 24 * cos²(alfa+beta/2) sa fie 0. Din tabel, cos 90 = 0 şi cos² 90 = 0. Înseamnă că (alfa + beta) = 180/2 = 90. Din moment ce formula (relaţia) lui Bretschneider e validă doar dacă alfa şi beta sunt 2 unghiuri opuse în patrulater, înseamnă că patrulaterul e inscriptibil. ( adică putem construi un cerc tangent cu toate varfurile sale < ex : Avem un patrulater ABCD si un cerc C(O,r). Daca A, B, C si D sunt incluse in C(O,r) atunci patrulaterul ABCD este inscriptibil. > ).( Alfa şi beta sunt 2 unghiuri opuse cu măsura unghiurilor 180^o, deci patrulaterul e inscriptibil ). Dacă e inscriptibil, putem folosi formula lui Brahmagupta care zice : Aria unui patrulater inscriptibil este egală cu radical din (p-a)(p-b)(p-c)(p-d); unde p = (a + b + c + d)/2 si a, b, c, d laturile patrulaterului. Si avem p = (1 + 2 + 3 + 4)/2 = 10/2 = 5. Radical din (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) e chiar a*b*c*d. Cum a, b, c, d consecutive, aria e egală cu radical din 4! = radical din 24.

* Formula lui Brahmagupta e doar o generalizare a lui Heron. Iar formula lui Bretschneider e generalizare a lui Brahmagupta.

https://ro.wikipedia.org/wiki/Tabelul_valorilor_funcțiilor_sinus_și_cosinus

https://www.geogebra.org/m/pcycqNEb

https://ro.wikipedia.org/wiki/Formula_lui_Bretschneider

https://ro.wikipedia.org/wiki/Formula_lui_Heron