Problema de matematica #3

[begood]

Se da :

x,y,z > 0

x + y + z = xy + yz + zx

Sa se demonstreze ca :

1 / (x^2 + y + 1) + 1 / (y^2 + z + 1) + 1 / (z^2 + x + 1) <= 1

Astept mesaj privat cu demonstratia completa.

Primii trei vor primi un set de puncte, acum ma gandesc la un joc care sa va motiveze sa postati probleme de orice natura si sa va faca placere sa le rezolvati

Edited January 5, 2013 by begood

[daNNy.bv]

ce vrea sa insemne ^ ?puterea?

[TheTime]

Pentru x = y = z = 1,

x + y + x = xy + yz + xz = 3, este adevarata, dar

1/3 + 1/3 + 1/3 = 1. Si 1 nu este mai mic decat 1...

Voiai sa zici "<=" ?

[begood]

da, multumesc TheTime. Editat si scuzati typo-ul.

[daNNy.bv]

Eu am folosit metoda bruteforce : FAIL

[begood]

ma uit maine ce ai scris acolo

[fulminator]

Am dovedit prin inductie matematica, adica, inlocuind cu valori 1,2,3... x, y, z. Cum sunt > 0, e clar ca si puterile lor (2 si 3) sunt pozitive. Devine logic atunci ca pt orice valoare cu care inlocuiesti x, y, z, vei dovedi cerinta.

Oricum, nu este solutia asteptata, desi e corecta, se numeste "matematica de mahala" si nu este acceptata in lucrari.

Mai pe sleau, e logic, dar nu gasesc unde sa reduc.

[SilvaDark]

@daNNy.bv: Ai gresit la linia 3 cand ai scos factor comun (y^2+z+1).

[daNNy.bv]

care e gresala ca nu ma prind

[SilvaDark]

(y^2+z+1)[(z^2+x+1)+(x^2+y+1)]+(x^2+y+1)(z^2+x+1)<.....

[TheTime]

shaggi,

e frumos codul, dar x,y,z pot fi numere reale.

[daNNy.bv]

ai dreptate silver am omis aia

[bcman]

Si eu am reusit sa rezolv pentru numere intregi (defapt naturale, pentru ca x,y,z > 0).

Inmultim inecuatia cu x^2+y+1 si ajungem la 1 < x^2+y+1, adica x^2+y+1 > 1. Scadem un 1 si ramanem cu x^2 + y > 0. Aceasta propozitie matematica e adevarata pentru ca x si y sunt strict mai mari decat 0. Analog si pentru celelalte fractii. Astfel ajungem la o suma de 3 numere mai mici ca 1. In N si Z suma a trei numere mai mici ca 1 e si ea mai mica decat 1. In Q problema se complica. Doar atat am reusit sa fac.

[Cril]

//link sters.

Nu am fost prea atent, dar cred ca e ok facut

Edited January 7, 2013 by Cril

[TheTime]

Cril, nu e corect. Nu ai demonstrat nicaieri ca x^2 + y >=2, nici nu ai cum.

Pentru x=1, y=1/2, z=2, ai x^2 + Y <2.

Confunzi ceea ce trebuie sa demonstrezi cu ceea ce stii deja.

[Cril]

Cril, nu e corect. Nu ai demonstrat nicaieri ca x^2 + y^2 >=2, nici nu ai cum.

Pentru x=1, y=1/2, z=2, ai x^2 + Y^2 <2.

e x^2+y >= 2.

Am incercat sa sterg, dar vad ca la scanare se vede stersura.

// mda, tot nu e bine(cred).

Edited January 7, 2013 by Cril

[begood]

hai, cine sparge gheata ?

[ralex]

am spart gheata )

[begood]

ralex felicitari lu iubita )