Jump to content
ICEBREAKER101010

Matematica pentru toti

Recommended Posts

Am vazut vizite de pe acest forum si am inregistrat un cont.. Pentru cine cauta structuri algebrice, tocmai lucram la proprietatile de baza ale legilor de compozitie, deci urmeaza sa apara.. Daca ati avea ceva exercitii anume care doriti sa le vedeti postate pe site, poate va pot ajuta.

Link to comment
Share on other sites

Exemplu, legi de compozitie:

M=(1,?)

x*y=2xy-2x-2y+3

1. Demonstrati ca legea este asociativa: (G1)

G1: (x*y)*z=x*(y*z)

2. Demonstrati ca legea are element neutru: (G2)

G2: e*x=x*e=x

e = element neutru

3. Demonstrati ca legea are elemente simetrizabile: (G3)

G3: x'*x=e

x' = inversul lui x

4. Demonstrati ca legea este comutativa: (G4)

G4: x*y=y*x

Rezolvare:

1. G1: (x*y)*z=x*(y*z)

notam x*y cu A. Si inlocuim ca in x*y=2xy-2x-2y+3. Uite:

A*z=2Az-2A-2z+3

A era x*y, adica A=x*y=2xy-2x-2y+3, si pe A il inlocuim cu cat e egal x*y, asa:

A*z=2(2xy-2x-2y+3)z-2(2xy-2x-2y+3)-2z+3

A*z=4xyz-4xz-4yz+6z-4xy+4x+4y-6-2z+3

A*z=4xyz-4xy-4yz-4xz+4x+4y+4z-3

Asa facem si cu x*(y*z)

notam y*z cu B. Si inlocuim ca in x*y=2yz-2y-2z+3

x*B=2xB-2x-2B+3

B era y*z, adica B=y*z=2yz-2y-2z+3, si pe B il inlocuim cu cat e egal y*z, asa:

x*B=2x (2yz-2y-2z+3)-2x-2(2yz-2y-2z+3)+3

x*B=4xyz-4xy-4xz+6x-2x-4yz+4y+4z-6+3

x*B=4xyz-4xy-4xz-4yz+4x+4y+4z-3

A*z=x*B ? Da

x*(y*z)=(x*y)*z ? Da

Deci rezulta ca legea este asociativa.

2. G2: e*x=x*e=x

x*e=x

Nu facem altceva decat sa inlocuim pe e cu y in legea data:

x*e=2xe-2x-2e+3

cum x*e=x, avem:

2xe-2x-2e+3=x

*intodeauna, trebuie aflat doar ce se afla dupa exista, adica e. Si nu x-ul! Multi fac greseala asta.

2xe-2e=x-3+2x

Dam factor comun pe e:

e(2x-2)=3x-3

Dam facut comun pe 2 din prima ecuatie si pe x din a 2-a:

2e(x-1)=3(x-1)

si avem:

e=3/2

Element neutru.

3. G3: x'*x=e

La fel. Inlocuim cu x' in legea intitiala:

x'*x=2x'x-2x'-2x+3

Si cum x'*x=e, unde e=3/2, avem:

2x'x-2x'-2x+3=3/2

La fel. Se afla doar ce se afla dupa exista. In cazul asta, x' .

2x'x-2x'=3/2-3+2x

x'(2x-2)=(3-6+4x)/2

Scoatem factor comun pe 2 din prima ecuatie:

2x'(x-1)=(4x-3)/2

4x'(x-1)=4x-3

x'=(4x-3)/4(x-1)

Ce face asta? Calculeaza elementu inversu pentru un numar din legea asta:

6'=21/20. Asta e inversul lui 6.

4. G4: x*y=y*x

x*y=2xy-2x-2y+3

y*x=2yx-2y-2x+3

2xy-2x-2y+3=2yx-2y-2x+3

2xy-2x-2y=2yx-2y-2x

2xy-2(x+y)=2yx-2(y+x)

Lege comutativa, deoarece inmultirea si adunarea sunt comutative.

Source: my notebook. Next time, mai bine scanez.. pfff

Link to comment
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.



×
×
  • Create New...