Problema cutiei

[crs12decoder]

Este o problema destul de cunoscuta insa una care mi s-a parut interesanta. Postez problema aici ca challenge pentru cei care nu o stiau inca.

O firma produce cutii de diferite dimensiuni.

Productia incepe cu bucati de carton de forma unui patrat cu latura de N cm.

Acelui patrat i se taie in mod egal colturile, oferind astfel posibilitatea de a indoi marginile ramase spre a forma cutia.

Lungimea taieturii trebuie sa fie in asa fel incat volumul cutiilor obtinute sa fie maxim.

Care este volumul maxim al cutiei obtinute?

Considerati prima oara N=16.

Edited May 17, 2013 by crs12decoder

[mafia27]

eu sunt nedumerit intr-o chestiune....ce inaltime trebuie sa aibe cutia?

ca teoretic sunt conditionat de inaltimea acesteia ca sa ii pot calcula volumul nu?

[yoyois]

V=l*L*h = aria bazei * h

aria bazei = l*l

exista o proportionalitate intre l si h

banuiesc ca maximul se atinge undeva pe la jumatate (h=l)

Nu prea am timp sa fac rezolvarea

[crs12decoder]

@mafia27

Nu sunteti exista restrictii cu privire la inaltimea cutiei. Ea trebuie doar sa aiba un volum cat mai mare cu putinta. Deci poate avea orice inaltime.

Cel mai usor ar fi sa incercati prima oara pt N=16 cm.

Edited May 17, 2013 by crs12decoder

[dancezar]

Cred ca gresesc dar cam asa vine:

AriaBazei= (n-2i)*(n-2i);

volum=AriaBazei*i;

//i este lungimiea coltului

Edited May 17, 2013 by danyweb09

[yoyois]

Eu am spus ca taietura ar putea fi facuta astfel incat H=L (L=N/4) si avem l=h V=h^3

[TheTime]

Spoiler rezolvare.

Frumoasa problema, n-am ce spune

[crs12decoder]

Da. E corect.

Dupa cum spunea si danyweb09:

V=h*(N-2h)*(N-2h);

Adica V=h(N-2h)^2.

In cazul N=16 => V=(16-2h)^2.

Deci se observa ca volumul variaza in functie de un singur parametru: h. Iar h=taietura pe care o facem.

Deci V(h)=h*(16-2h)^2

Daca vrem ca volumul sa fie maxim atunci trebuie sa-l gasim pe acel h care introdus in functia volum, aceasta ne va returna valoarea maxima.

Maximul local al functiei este derivata I egalata cu 0. Derivam functia V(h) si ajungem la acea ecuatie de gradul II.

Se rezolva ecuatia de gradul II si avem 2 solutii dintre care una este 8 si alta este 8/3.

Daca-l bagam pe 8 in functia V(h)

Avem: V(8)=8*(16-2*8)^2 = 0

8 nu poate fi pentru ca ar insemna sa scoatem toata suprafata cartonului si nu am ramane cu nimic.

Deci e 8/3.

V(8/3)=8/3 * (16-8/3)^2 = 303,4 cm^3.

Eu am spus ca taietura ar putea fi facuta astfel incat H=L (L=N/4) si avem l=h V=h^3

Taietura in sine este h.

Latura bazei cartonului L se formeaza in functie de taietura.

L=N(latura veche) - 2h(lungimea celor 2 taieturi de la fiecare colt)

deci L=N-2h

Ca sa se indeplineasca conditia ta H=L inseamna ca:

Daca L=N-2h

si H=L

=> h=N-2h => h= N/3.

Deci tu spui ca indiferent de lungimea initiala a cartonului, daca h=N/3 atunci volumul va fi maxim.

Vmax=h^3 = (N/3)^3

In cazul N=16 => (16/3)^3 = 151.7 cm cubi.

Care este de doua ori mai mica decat valoarea gasita in cazul in care taiem 8/3 cm.

Cazul in care il egalezi pe h cu L iti va da un cub. Iar cubul nu are volumul maxim.

Faceti si generalizarea ca exercitiu.

Volumul maxim indiferent de valoarea lui N.

Edited May 17, 2013 by crs12decoder

[totti93]

Nu stiu cat de bine e:

http://img407.imageshack.us/img407/1320/ecuation.gif

Ahh, am uitat ceva: Inlocuim `x` in ecuatie si obtinem valoarea maxima...

Am calculat si mi-a dat (n/3)^3

Edited May 17, 2013 by totti93

[crs12decoder]

Daca faci o verificare pentru n=16 conform enuntului iti iese (16/3)^3=151.7

Deci pica

[noVaLue]

Tot nu prea aveam ce face, asa ca am facut si o rezolvare in N.

V = x*(N-2x)^2
  = x*(4(x^2) - 4N(x) + N^2)
  = 4(x^3) - 4N(x^2) + N^2(x)

CE: N-2x>0 => N>2x => x<N/2
    x > 0

V'= 12(x^2) - 8N(x) + N^2
  = 0

dt = 64(N^2) - 48(N^2)
dt = 16(N^2)


x1 = ( 8N + sqrt(16(N^2)) ) / 24
   = ( 8N + 4N) / 24
   = 12N / 24
x1 = N/2 => Imposibil


x2 = ( 8N - sqrt(16(N^2)) ) / 24
   = ( 8N - 4N) / 24
   = 4N / 24
x2 = N / 6


N' = N-2x = N - 2(N/6) = N - N/3

N' = 2N/3
h  = N/6
V  = 2N^3/27

[crs12decoder]

Da e corect.

Deci Vmax=2N^3/27

Indiferent de latimea cartonului.

Acum nu trebuie decat sa fiti angajati intr-o firma care o sa va ceara sa gasiti valoarea lui x pentru a gasi volumul maxim...

PS:

Nu uitati ca 12(x^2) - 8N(x) + N^2 = (N-6x) (N-2x)

Deci (N-6x) (N-2x)=0 => x=N/6 si x=N/2

Ca sa nu va mai chinuiti cu delta.

@noVaLue: trebuia sa explici si de ce varianta x1 = N/2 era imposibila. Oricum restul poporului isi va da seama foarte simplu care este cauza.

Ultima intrebare:

De ce Derivata I egalata cu 0 ne va indica maximul functiei?

Edited September 13, 2013 by crs12decoder

[noVaLue]

Nu am explicat, dar am precizat de ce

CE: N-2x>0 => N>2x => x<N/2
    x > 0

Lungimea unei laturi nu poate fi negativa sau = 0(ar rezulta in alta forma geometrica, patrat ori punct), de aceea conditiile de existenta N-2x>0 si x>0 trebuiesc respectate

0 < x < N/2

De ce Derivata I egalata cu 0 ne va indica maximul functiei?

Nu neaparat maximul, dar acela este cel ce ne intereseaza in cazul de fata. Derivata arata evolutia curbei, in cazul de fata evolutia volumului.

x    |   0      N/6       N/2
-6x+N|+++++++++++0-----------------           
-2x+N|+++++++++++++++++++++0-------
--------------------------------------
V    | CRESTE    0  SCADE  0 CRESTE 
     |///|      MAX        |///////

Ultima linie reprezinta intervalul care ne intereseaza sa-l analizam

Edited May 18, 2013 by noVaLue

[crs12decoder]

Nu ai raspuns totusi la intrebarea "De ce derivata trebuie egalata cu 0?" Adica de ce 0 si nu orice alta valoare. (Evident ca daca am pune alta valoare in afara de 0 nu ne-ar mai indica maximul sau minimul) Dar de ce?

Edited September 12, 2013 by crs12decoder

[sevenziparchive]

Edit: Nu conteaza, am omis ceva, calculele mele erau gresite.

Back to work.

LE: Dupa o cafea mi-a dat i=n/6 pentru Volumul Maxim. Va rog sa verificati.

@crs12decoder: derivata unei functii reprezinta tangenta la grafic. Astfel, daca derivata e 0 (tangenta la grafic este 0, adica la orizontala) atunci s-a ajuns intr-un punct minim (respectiv maxim) al graficului.

Edited September 12, 2013 by sevenziparchive

[yoyois]

Nu ai raspuns totusi la intrebarea "De ce derivata trebuie egalata cu 0?" Adica de ce 0 si nu orice alta valoare. (Evident ca daca am pune alta valoare in afara de 0 nu ne-ar mai indica maximul sau minimul) Dar de ce?

Poi derivata functiei egalata cu 0 nu ne da maximul/minimul functiei?

Nu mi s-au predat niciodata derivate dar am auzit cate ceva despre ele.

Nu-i asa la orice functie?

[crs12decoder]

@crs12decoder: derivata unei functii reprezinta tangenta la grafic. Astfel, daca derivata e 0 (tangenta la grafic este 0, adica la orizontala) atunci s-a ajuns intr-un punct minim (respectiv maxim) al graficului.

Da.

@yoyois - Reciteste intrebarea pusa de mine. Am intrebat de ce trebuie egalata cu 0. Nu am pus la indoiala faptul ca asa se face.

Topic Closed.

Edited September 13, 2013 by crs12decoder