Cu puţin ajutor, i-am dat de cap :=) :
Ştim ca funcţia cosinus e cuprinsă între -1 şi 1 . De aici, şi din formula de mai sus : Radical din 24 - 24 * cos2(alfa+beta/2), cel mai convenabil ar fi ca 24 * cos2(alfa+beta/2) sa fie 0. Din tabel, cos 90 = 0 şi cos2 90 = 0. Înseamnă că (alfa + beta) = 180/2 = 90. Din moment ce formula (relaţia) lui Bretschneider e validă doar dacă alfa şi beta sunt 2 unghiuri opuse în patrulater, înseamnă că patrulaterul e inscriptibil. ( adică putem construi un cerc tangent cu toate varfurile sale < ex : Avem un patrulater ABCD si un cerc C(O,r). Daca A, B, C si D sunt incluse in C(O,r) atunci patrulaterul ABCD este inscriptibil. > ).( Alfa şi beta sunt 2 unghiuri opuse cu măsura unghiurilor 180o, deci patrulaterul e inscriptibil ). Dacă e inscriptibil, putem folosi formula lui Brahmagupta care zice : Aria unui patrulater inscriptibil este egală cu radical din (p-a)(p-b)(p-c)(p-d); unde p = (a + b + c + d)/2 si a, b, c, d laturile patrulaterului. Si avem p = (1 + 2 + 3 + 4)/2 = 10/2 = 5. Radical din (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) e chiar a*b*c*d. Cum a, b, c, d consecutive, aria e egală cu radical din 4! = radical din 24.
* Formula lui Brahmagupta e doar o generalizare a lui Heron. Iar formula lui Bretschneider e generalizare a lui Brahmagupta.
https://ro.wikipedia.org/wiki/Tabelul_valorilor_funcțiilor_sinus_și_cosinus
https://www.geogebra.org/m/pcycqNEb
https://ro.wikipedia.org/wiki/Formula_lui_Bretschneider
https://ro.wikipedia.org/wiki/Formula_lui_Heron